Niclas Berggren 15:31 den 1 February 2011

Matematikfråga

Rätt svar återfinns här.

Andreas 15:40 den 1 februari 2011

Coolt. Jag svarade vet ej.
Niklas 15:54 den 1 februari 2011

Wikipediasidan du länkade till var ju en riktig guldgruva. Tänk att vikingarna inte hade horn på sina hjälmar.
Lennart Regebro 15:57 den 1 februari 2011

Självklart stickan! Ju mer nior man har desto närmare 1 kommer det ju. Med oändligt antal nior är det oändligt nära. :)

Men visst. Man måste fundera på frågan ett tag. Det gjorde ju jag under gymnasietiden. Hade jag aldrig ställt mig frågan innan och nån fågade mig hade jag självklart svarat att 0.999…. är mindre än ett.

Det är en liknande fråga som den där Xeno’s (eller vad han hette) pil eller vad det är, Oändligheter och infinitisemaler är förvirrande. :)
David Bergkvist 16:21 den 1 februari 2011

Nu är jag inget mattegeni, men är det verkligen korrekt matematik att skriva ”0.999… med oändligt många 9:or”? Oändligheten är inget tal. Jag skulle skrivit ”summan av 9/(10^i) där i går från 1 till N, där N går mot oändligheten”. Vilket matematiskt kan beräknas till att gå mot 1.
Andreas 17:08 den 1 februari 2011

Är ju ganska intressant att så många är så självsäkra att det bara är 14% (hittils) som svarat ”vet ej”. Det är väl iofs roligare att gissa på ja eller nej än att svara vet ej.
Johan 17:08 den 1 februari 2011

Konstig fråga… Är nästan 1 lika med 1?

Självklart är svaret att det inte är lika med 1.
Lennart W 17:34 den 1 februari 2011

0.999… = 1 exakt, precis som länken säger.
På samma sätt är det binära talet 0.111… exakt lika med 2.
Ang. oändligheter är det välförstått idag inom matematiken. Men vad det är beror lite på vad man talar om. Googla eller kolla på wikipedia om ”oändlighet” resp. ”kardinalitet”.
Martin 17:42 den 1 februari 2011

Johan: Om du multiplicerar 0.999… med tio, så får du 9.999… . Subtrahera sedan originaltalet, så har vi kvar 9 x 0.999…, vilket måste bli (9.999… -0.999…) = 9.000… . Om 9*0.999… = 9.000 så är 0.999 samma sak som ett.
Johan 17:45 den 1 februari 2011

Som sagt den som tror att man kan sätta ett likhetstecken borde läsa lite mer matematisk analys. 0,999… (oändligt antal 9) går mot 1 men kommer aldrig bli lika med 1. Alltså 0.999…=1 är fel. Precis som David ovan skrivit.

http://sv.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A4nsv%C3%A4rde
David Bergkvist 17:50 den 1 februari 2011

Lennart W: Jag bestrider inte att oändligheten är välförstådd, utan att den är ett tal.
Johan 18:02 den 1 februari 2011

Martin: Jag förstår hur du räknar, problemet är att gränsvärdet som det defakto är tala om här inte kan subtraheras å det sättet du gör. Det är så att säga inte ett tal utan en summa som närmar sig ett tal.
Olle H 18:44 den 1 februari 2011

Jag vet det rätta svaret.
Niclas Berggren 19:13 den 1 februari 2011

Olle: Snälla, håll oss inte på sträckbänken! Har Wikipedia fel? Är det möjligt?
Sten 19:59 den 1 februari 2011

Ja, det är klart att det är lika med ett.
Enklaste sättet att förstå det intuitivt:

1/3 = 0,333333333… (med oändligt många treor)
0,33333333… × 3 = 0,99999999…
1/3 × 3 = 1

Om man hävdar att 0,999999… är mindre än 1 måste man således även hävda att (1/3) × 3 är mindre än 1, vilket ju är uppenbart korkat.
pontus 20:18 den 1 februari 2011

Jag svarade att de ar exakt samma. Men jag maste erkanna att det satt langt in.

Tva (reella) tal x och y ar identiska om och endast om |x-y|0. Eftersom det haller for 0.99999… sa maste de vara identiska.
ccima 20:26 den 1 februari 2011

De är 2 olika representationer av samma reella tal.
Kristian Grönqvist 20:37 den 1 februari 2011

Semantiskt är det intressant. Om 0,9999 är detsamma som 1, varför skriver man det inte så?
Vad gör vi med 0,9999999999999999999999999999999998 då tex.
Var vill ni dra gränsen
Skall vi kanske dra den vid 0,99999999999995 och bara utjämna?
Eller skall vi säga att 0,95 är i runda slängar 1

Nån jävla ordning får det vara, tom i kommunistpartiet.
Kristian Grönqvist 20:52 den 1 februari 2011

Som ett praktiskt exempel På ett ljusår och
0,999999999999999 ljusår är skillnaden i runda slängar 10m eller 10000 mm eller 10 000 000 000 nanometer och då rör jag mig ändå på påtagliga avstånd.
.perpotator 22:30 den 1 februari 2011

oändligt intressant detta..
betyder det att 1.999999…(oändlighet) är lika med 2?
Cecilia 22:48 den 1 februari 2011

‘oändligt antal’ ger svaret på frågan.
Cecilia 22:50 den 1 februari 2011

Semantiskt är det intressant. Om 0,9999 är detsamma som 1, varför skriver man det inte så?
Vad gör vi med 0,9999999999999999999999999999999998 då tex. Var vill ni dra gränsen Skall vi kanske dra den vid 0,99999999999995 och bara utjämna? Eller skall vi säga att 0,95 är i runda slängar 1

Nån jävla ordning får det vara, tom i kommunistpartiet.

Du glömmer att Niclas skriver om _oändligt_ antal nior.
Kristian Grönqvist 23:46 den 1 februari 2011

Bara ett exempel Helga. Allt handlar om något i proportion till något annat
Kristian Grönqvist 23:56 den 1 februari 2011

Arrogant av mig Cecilia. Vad jag menar är att det finns en skillnad men den är oändligt liten.
Sten 0:10 den 2 februari 2011

Kristian: Det finns oändligt många tal mellan 0 och 1. Om det finns en skillnad, oavsett hur stor, mellan 0,99999999… och 1 måste det alltså finnas minst ett tal mellan dessa två tal, det vill säga det är högre än 0,99999999…. och lägre än 1.

Vad har detta tal för slutsiffra? Fundera på vad som händer om slutsiffran är 9 respektive om den inte är 9.
Daniel 0:20 den 2 februari 2011

Kristian,
Proportionsskillnaden mellan det du föreslår och det faktiska exemplet är oändlig.

Om du byter ut en enda 9:a mot en 8:a i en oändlig serie av 9:or så har du genast ett tal som skiljer sig från 1.

Det hittar jag på för att jag önskar att det ska vara så. Och det tror du förmodligen på.
Olof Johansson-Stenman 7:47 den 2 februari 2011

David, tror du hade i princip rätt ovan:

”Oändligheten är inget tal. Jag skulle skrivit ”summan av 9/(10^i) där i går från 1 till N, där N går mot oändligheten”. Vilket matematiskt kan beräknas till att gå mot 1.”

Men gränsvärdet (d v s om man sätter ”lim” framför) av den summa du beskrev är exakt, och inte bara approximaivt, lika med ett.
swingthatcat 8:35 den 2 februari 2011

Kom att tänka på ett annat beskrivningssätt.
På min tid (vilket var för djävligt länge sedan) fanns det något som kallades ”geometriska serier”. En oändlig sådan, där kvoten (k) mellan en term och den förgående var mindre än 1, var konvergent med summan a/(1-k), där a är den första termen i serien.
I det här fallet alltså 0,9/(1-0,1) = 1
David Bergkvist 13:22 den 2 februari 2011

Olof Johansson-Stenman: Men frågan gällde ju om ”0.9999…. (med oändligt många 9:or)” är lika med ett, inte om ”lim 0.9999…. (med N antal 9:or, där N är limesvariabeln och går mot oändligheten)” är lika med ett. Det sistnämnda är ju nästintill trivialt sant.
Lennart W 14:05 den 2 februari 2011

David B: 0.999… (oändligt många 9:or) är samma sak som 0.9+0.09+0.009+… (oändligt många termer). Dvs swingthatcat har alldeles rätt.
David Bergkvist 14:22 den 2 februari 2011

Lennart W: Du begriper fortfarande ingenting av vad jag vill ha sagt. Jag har aldrig påstått att det skulle vara någon skillnad mellan 0.999… (oändligt många 9:or) och 0.9+0.09+0.009+… (oändligt många termer). Jag har ifrågasatt att man kan ha oändligt många 9:or eller oändligt många termer. Vad man kan ha är N stycken 9:or eller termer och låta N gå mot oändligheten. Och gränsvärdet man får när man gör detta är 1, men det betyder inte att den matematiska inkorrekta teckensekvensen ”0.999… (oändligt många 9:or)” är lika med 1.
Lennart W 15:17 den 2 februari 2011

David B: ”oändligt många termer” är bara ett annat (kanske lite slarvigt) sätt att säga ”lim N går mot oändligheten” för summan.

Men visst kan man definiera mängder med oändligt många element. Mängden av naturliga tal t.ex. är en sådan. En annan är mängden av reella tal. Båda är oändligt stora men oändligheterna har olika kardinalitet (kolla upp om du vill).
Andreas 16:09 den 2 februari 2011

Olle H:
Jag med
David Bergkvist 16:12 den 2 februari 2011

Lennart W: Men om man uttrycker sig slarvigt och detta leder till att folk tror man menar något annat än man gör, så bör man korrigera sitt slarviga uttalande. Hade frågan varit ”Går 0.999… (med N stycken nior, där N går mot oändligheten), mot 1?”, så hade ju alla varit eniga att svaret är ”ja”.

Vad har mängder med saken att göra? ”0.999… (med oändligt antal nior)” är ingen mängd. Och även om den varit det så följer trivialt att den inte är lika med 1, eftersom 1 inte är en mängd.

Och även om ”1” bara är ett slarvigt sätt att säga ”mängden av talet 1”, så skulle iallafall inte mängden ”0.999… (med oändligt antal nior)” vara lika med mänden av talet 1, bland annat eftersom dessa mängder har olika antal objekt.
Lennart W 16:19 den 2 februari 2011

Wikipedia: 0.999… har en lång artikel med överraskande olika aspekter på det här som är korrekt vad jag kan se. Med massor av referenser.
David Bergkvist 16:41 den 2 februari 2011

Lennart W: Fast den sidan nämner ju inget om hur och varför det är korrekt att skriva 0.999… (med oändligt många 9:or), utan antar bara helt kallt att det är det, och att det betyder ”lim 0.999… (med n 9:or), där n går mot oändligheten”. Och att detta gränsvärde blir 1 är det ju ingen som bestrider.
ccima 17:03 den 2 februari 2011

Vad kan göra detta sant?
Vad kan göra detta falsk?
Finns någon anledning anta ett visst ”något”?

Det finns en standard kontext där svaret är ja.
Så varför har det utvecklats en sådan standard?
Vem bestämmer vad den är? Jo Olle och likar.
Lennart W 17:18 den 2 februari 2011

David B: Varför skulle man inte kunna definiera ett tal med oändligt många likadana decimaler? Om du kunde något om reell analys, skulle du veta att nästan alla reella tal, i decimalform, har oändligt många decimaler, som dessutom inte har något som helst repetitivt mönster (t.ex. pi=3.14159…). 0.999… är ett mycket snällt decimaltal.
David Bergkvist 17:37 den 2 februari 2011

Lennart W: Men pi är ju inte definierat som en oändligt lång sekvens av siffror som börjar med 3.14159, utan den oändligt långa sekvensen med siffror är ju bara resultatet man får om man försöker skriva ut talet pi med vanliga decimala siffror. Det säger inte att 3.14159… (följt av en oändlig sekvens siffror) har en entydig matematisk betydelse.
David Bergkvist 18:32 den 2 februari 2011

ccima: Jag kan hålla med om att om matematiker av hävd tolkar ”0.999… (med oändligt många 9:or)” som ”lim 0.999… (med n 9:or) där n går mot oändligheten” snarare än som något allmänt odefinierat som jag skulle föredra, så får man stå ut med det — det är ju trots allt de som har behov av ett matematiskt språkbruk.

Men om man har denna princip så kan man ju inte samtidigt säga att som anser att ”0.999… (med oändligt många 9:or)” är skiljt från 1, har matematiskt fel, eftersom deras enda ”fel” ju då är att de inte underkastat sig matematikernas språkbruk. Ej heller bör man slå sig för bröstet och säga att man minsann är så matematiskt kunnig för att man inser att ”0.999… (med oändligt många 9:or)” är lika med 1, eftersom det enda man inser ju är vilket språkbruk som råkar vara hävd bland matematiker, vilket inte är detsamma som att man har några matematiska insikter.
swingthatcat 18:39 den 2 februari 2011

Nu är vi kanske framme vid det man kunde vänta sig.
D.v.s. ALLA HAR RÄTT!

Vad tycker förresten genusvetarna?
ccima 18:45 den 2 februari 2011

@David Sure man kan bara säga att något är fel eller rätt utifrån en viss kontext. Det är därför jag tycker en intressantare fråga vad som gör det sant/falskt.
ccima 18:47 den 2 februari 2011

@swingthatcat Skitsnack. Eftersom det är ett par av kontext och påstående; talar man inte om samma sak. Och där med ”alla har rätt” är trivialt fel.
David Bergkvist 19:08 den 2 februari 2011

ccima: Men om kontexten gör att ”0.999… (med oändligt många 9:or)” anses betyda ”lim 0.999… (med n 9:or) där n går mot oändligheten”, så är det ju trivialt vad som gör det sant att detta är lika med 1. Triviala frågor är väl inte speciellt intressanta?
swingthatcat 19:08 den 2 februari 2011

ccima ?
förstår dig tyvärr inte
ccima 19:24 den 2 februari 2011

@David När man väl insett vad som gör det sant har man redan gjort jobbet ja.
ccima 19:34 den 2 februari 2011

@swingthatcat Om man är oense tror jag det är av en verklig anledning. Som går komma fram till. Men jag är nog naiv.
Lennart W 20:26 den 2 februari 2011

David B: det där du sa nu om pi var ganska dumt. Du vet ganska lite om reell analys men tror desto mer och är ännu säkrare på att du har rätt. Hur i allsin dar fungerar man när man har en sådan inställning?

Jo, ”alla har rätt” är nog förklaringen. Sanslös skada som postmodernistiska tänkandet har ställt till med.
David Bergkvist 22:14 den 2 februari 2011

Lennart W: Min poäng är alltså att om man ska skriva ut ett tal i decimal form, så måste antalet siffror vara ett naturligt tal (man kan t ex inte ha -3.3i stycken siffror), och oändligheten är inget naturligt tal (eftersom den inte är ett tal öht). Detta innebär inte att tal som pi inte existerar, utan endast att de inte kan skrivas ut på decimal form. Inget av detta har något som helst med reell analys att göra, så om du vill anklaga mig för bristande kunskaper, så får du göra det inom rätt område.
Cecilia 23:59 den 2 februari 2011

David Bergkvist skrev:
Men om man har denna princip så kan man ju inte samtidigt säga att som anser att ”0.999… (med oändligt många 9:or)” är skiljt från 1, har matematiskt fel, eftersom deras enda ”fel” ju då är att de inte underkastat sig matematikernas språkbruk. Ej heller bör man slå sig för bröstet och säga att man minsann är så matematiskt kunnig för att man inser att ”0.999… (med oändligt många 9:or)” är lika med 1, eftersom det enda man inser ju är vilket språkbruk som råkar vara hävd bland matematiker, vilket inte är detsamma som att man har några matematiska insikter.

Mjae, men 0,999… (oändligt antal) = 1 är ingen konvention på samma sätt som
exempelvis att noll-fakultet = 1, dvs 0! = 1

Det är ändå en viss skillnad mellan dessa båda likhetsteckens logiska bakgrund, eller hur?

För annars kan man kasta fram att 2 + 2 = 7, ”men det är inte fel, för det innebär bara att man inte accepterar matematikens konventioner”?
Cecilia 0:00 den 3 februari 2011

David Bergkvist skrev:
Men om man har denna princip så kan man ju inte samtidigt säga att som anser att ”0.999… (med oändligt många 9:or)” är skiljt från 1, har matematiskt fel, eftersom deras enda ”fel” ju då är att de inte underkastat sig matematikernas språkbruk. Ej heller bör man slå sig för bröstet och säga att man minsann är så matematiskt kunnig för att man inser att ”0.999… (med oändligt många 9:or)” är lika med 1, eftersom det enda man inser ju är vilket språkbruk som råkar vara hävd bland matematiker, vilket inte är detsamma som att man har några matematiska insikter.

Mjae, men 0,999… (oändligt antal) = 1 är ingen konvention på samma sätt som
exempelvis att noll-fakultet = 1, dvs 0! = 1

Det är ändå en viss skillnad mellan dessa båda likhetsteckens logiska bakgrund, eller hur?

För annars kan man kasta fram att 2 + 2 = 7, ”men det är inte fel, för det innebär bara att man inte accepterar matematikens konventioner”?
David Bergkvist 0:29 den 3 februari 2011

Cecilia: 0! = 1 är en matematisk konvention, medans att teckensekvensen ”0.999… (med oändligt antal 9:or)” överhuvudtaget betyder någonting är en språklig konvention. Så helt riktigt, de är inte konventioner på samma sätt. Dock: givet att man anser att ”0.999… (med oändligt antal 9:or)” faktiskt betyder något. och denna betydelse är ”lim av 0.999… (med n stycken 9:or, där n går mot oändligheten)”, så är det ingen konvention att detta är lika med 1, utan något som kan visas objektivt.

Den som skriver att ”2 + 2 = 7”, t ex i betydelsen ”summan av 2 och 2 är skilt från 7” (dvs, använder ett matematiskt språk där tecknet = avser ”är skilt från”) kommer ha väldigt svårt att göra sig förstådd, och har anledning att fråga sig om det är motiverat att använda ett sådant språkbruk. Men denna frågeställningen som vederbörande drabbas av har inget med matematik att göra.
michaeleriksson 11:02 den 3 februari 2011

Nyckeln här ligger i skillnaden mellan tal och representation av tal. ”1” är inte tal, inte heller ”0.999…”, utan en textuell representation av ett tal. Dessa båda representationer råkar nu vara av samma tal. På samma sätt är ”0.5” och ”1/2” representationer av ett annat tal. Latinets ”I” är ytterligare en representation av det första talet.
Kristian Grönqvist 11:26 den 3 februari 2011

Är det några som inte förstår vad ”semantisk” betyder?
I såfall kan jag skriva en fem sidors avhandling om detta och sedan fem sidor till om varför verbal representation är verbal representation och inte matematik.

Verbalt går det inte att skriva,1=o,99 hur många nior man än radar upp, eftersom man begår ett begreppsmässigt fel.

Matematiskt är tänket annorlunda, men jag, utan att vara matematiker,tycker i princip att det skall råda en oändligt liten skillnad.
Camilla 15:20 den 3 februari 2011

Underbart! Att matematik kan engagera så. Mer än amning, tydligen :)

Enkelt sätt att se att 0,99999(oändligt antal 9:or) är 1 är att sätta det till x och sedan ta
10x-x=9x
9x=9 (9,999…-0,9999…)
x=1
Camilla 21:26 den 3 februari 2011

Jag tycker nog att Sten vinner min hjärna;
1/3 = 0,333333333… (med oändligt många treor)
0,33333333… × 3 = 0,99999999…
1/3 × 3 = 1
, men naturligtvis svarade jag ”nej”. Man förstår ju skillnaden mellan matematik och verklighet:)
jesus 15:35 den 8 februari 2011

OLLE H,
kom igen nu, skriv ngt om detta, även om det verkar vara ganska avklarat bland kommentarerna.