Skepticism mot logik och matematik

Oj, oj, ibland skakas man om av något man läser. Jag har alltid fascinerats av skepticism, men en så radikal argumentation som i A Priori Skepticism”, accepterad för publicering i Philosophical and Phenomenological Research, har jag inte tidigare stött på. Däri argumenteras, som titeln antyder, för att skepticism också omfattar kunskap om vissa a priori-sanningar, t.ex. dessa:

(1.1) The sum of two and three is five.
(1.2) Whatever is square is rectangular.
(1.3) Whatever is red is colored.
(1.4) No surface can be uniformly red and uniformly blue at the same time.
(1.5) If ‘if p then q’ is true and ‘p’ is true, then ‘q’ is true.
(1.6) No statement can be both true and false at the same time and in the same respect.
(1.7) If A is taller than B, and B is taller than C, then A is taller than C.
(1.8) Everything is identical to itself.
(1.9) If the conclusion of an inductive argument is contingent, it is possible for the premises of that argument to be true and its conclusion to be false.

Hur kan man ens tänka sig att det inte går att ha kunskap om att dessa satser är sanna? Argumentationen kan uttryckas på följande sätt, där ”PAN” avser ”putatively a priori necessities” (av det slag som exemplifieras ovan) och där ”DW” är en person som, av skäl som Descartes och Wittgenstein har formulerat,* helt och ständigt har fel:

(7.1) For any PAN, if I know that the PAN is true, then I know that I am not a DW.
(7.2) I don’t know that I am not a DW.
(7.3) Therefore, for any PAN, I don’t know that the PAN is true.

If (7.3) is true, I cannot know (7.1) or (7.2) to be true, since they are PANs. Therefore, if the argument is sound, it cannot be known to be sound. The skeptical predicament is only worsened when we consider that the proposition that the argument from (7.1) to (7.3) is valid is itself a PAN. Since a priori skeptical hypotheses, as I conceive of them, can be used to challenge our ability to know that an argument is valid—including valid arguments that call into question our ability to know that an argument is valid—the soundness of the argument doubly implies the unknowability of its soundness.

Jag vet inte vad jag vet. Men som den fiktionalist jag är spelar det nog ingen roll.

___________________

*Om Descartes:

Although it can be difficult to see how a genuinely impossible skeptical hypothesis could ever pose a serious skeptical threat, Descartes nonetheless believed that it was possible. For example, in the first Meditation he considers the possibility that an all-powerful being might be deceiving him about basic a priori matters:

What is more, since I sometimes believe that others go astray in cases where they think they have the most perfect knowledge, may I not similarly go wrong every time I add two and three or count the sides of a square, or in some even simpler matter, if that is imaginable?

In the Third Meditation Descartes reflects upon the possibility that “some God could have given me a nature such that I was deceived even in matters which seemed most evident”:

I cannot but admit that it would be easy for him, if he so desired, to bring it about that I go wrong even in those matters which I think I see clearly with my mind’s eye.

Matematikfråga

Rätt svar återfinns här.

Amning gynnar barn

Jag har förståelse för mödrar som inte ammar sina barn: det är, som jag har förstått det, ofta plågsamt, opraktiskt och oestetiskt. Man ska emellertid beakta att amning medför en del fördelar för barnen. Den nya studien ”The Effect of Brestfeeding on Children’s Cognitive Development” finner följande:

This paper examines the effect of breastfeeding on children’s cognitive outcomes, as measured by test scores in reading, writing and mathematics measured at ages 5, 7, 11, and 14. … We find that breastfeeding does have a causal effect on children’s cognitive outcomes. The “raw” difference between children who were and were not breastfed at four weeks of age is large, at a little over one third of a standard deviation. Most of this difference may be explained by maternal characteristics. However, even after controlling for these, a statistically significant difference remains. This is smaller, at a little over one tenth of a standard deviation. However, it is statistically significant across English, maths and science scores, and it persists at least until age fourteen; indeed, there is some evidence that the effect tends to grow over time.

Den metod som används för att klargöra den kausala effekten kallas propensity score matching och innebär att man jämför barn som i ”alla” relevanta avseenden har liknande bakgrund, med den skillnaden att vissa ammas och att andra inte ammas. Nå, även om effekten inte är jättestor finns den ändå där, och jag tycker att den talar för amning (liksom andra resultat som tyder på goda hälsoeffekter).

Matematik i nationalekonomin

John von Neumann varnar för att matematiken, när den används som analysmetod i olika vetenskaper, kan riskera att tappa sin koppling till empiriska frågeställningar. Hur står det till med den saken inom nationalekonomin? Bryan Caplan skriver:

Unlike Austrian economists, I have no principled objection to mathematical econ. I just think that we should evaluate mathematical econ empirically – and admit that in hindsight, the vast majority of it fails the cost-benefit test. While many complaints about econ are unjustified, this one is, and it’s time to clean house.

Jag tenderar att hålla med om denna slutsats. Det är inget fel på matematik i samhällsvetenskaper som nationalekonomin, men det blir problematiskt i ett socialt perspektiv i den mån rent teoretisk analys börjar dominera. Min egen känsla är att detta problem är betydligt mindre inom nationalekonomin idag än för, säg, två decennier sedan.

Faran med matematik

En av den matematiska nationalekonomins frontfigurer, John von Neumann, hade dessa varningens ord att säga om faran med en långt gången, abstrakt matematisering:

As a mathematical discipline travels far from its empirical source, or still more, if it is a second and third generation only indirectly inspired by ideas coming from ”reality” it is beset with very grave dangers. It becomes more and more purely aestheticizing, more and more purely I’art pour I’art. This need not be bad, if the field is surrounded by correlated subjects, which still have closer empirical connections, or if the discipline is under the influence of men with an exceptionally well-developed taste. But there is a grave danger that the subject will develop along the line of least resistance, that the stream, so far from its source, will separate into a multitude of insignificant branches, and that the discipline will become a disorganized mass of details and complexities. In other words, at a great distance from its empirical source, or after much ”abstract” inbreeding, a mathematical subject is in danger of degeneration. …

In any event, whenever this stage is reached, the only remedy seems to me to be the rejuvenating return to the source: the re-injection of more or less directly empirical ideas. I am convinced that this was a necessary condition to conserve the freshness and the vitality of the subject and that this will remain equally true in the future.

Jag tolkar nationalekonomins utveckling som att den renodlade matematiska inriktning som dominerade på många håll för ett par decennier sedan har ersatts eller kompletterats med ny empirisk forskning, genom utvecklingen av olika metoder och tekniker och genom allmänt bättre datatillgång. Inte minst torde den experimentella revolutionen, som lanserades av bl.a. Vernon Smith, ha ändrat ämnets karaktär en hel del. För personer som inte vill att nationalekonomin främst ska vara l’art pour l’art är detta en utveckling att hälsa med glädje.

Är matematiken påhittad?

Jag har tidigare skrivit om fiktionalism inom etiken: att låtsas som om en objektiv moral finns trots att man är övertygad om att den inte finns. Det finns också fiktionalism inom matematiken:

Fictionalism in the philosophy of mathematics is the view that mathematical statements, such as ‘8+5=13’ and ‘π is irrational’, are to be interpreted at face value and, thus interpreted, are false. … According to fictionalism, there is no mathematical knowledge apart from knowledge of the fiction of mathematics itself. Knowing that in the story of mathematics 2+3 = 5 is no more problematic than knowing that in the Tolkien story Bilbo Baggins is a hobbit. In both cases we know this by reading the relevant stories, listening to others who are well versed in the stories in question or, more adventurously, by exploring the logical consequences of the respective stories.

Grunden för matematisk fiktionalism är dessa tre överväganden:

There are several problems associated with admitting mathematical entities into one’s ontology. First, accepting mathematical entities would seem to run into trouble with Ockham’s razor. This is the advice not to multiply entities beyond necessity. It would appear that nominalists of all varieties have Ockham on their side, since they do not need to posit the huge number of entities entertained by Platonists. Second, mathematical entities are epistemically suspect. Mathematical entities are usually taken to be abstract, in the sense that they do not exist in space and time and do not have causal powers. It is thus mysterious how we can have knowledge of such causally isolated entities (Benacerraf 1983); or at least, an account is required of how the methods of mathematics are reliable means of forming beliefs about such abstract entities (Field 1989). Finally, we might add a more general worry about the metaphysical dubiety of abstract entities. After all, entities not located in space and time and without causal powers are utterly unlike any other entities we know about.

Det var inte riktigt vad jag fick lära mig i skolan när jag började räkna. Tur var nog det.

Professorns kön påverkar kvinnliga studenter

Varför så få kvinnor i naturvetenskapliga ämnen? En hypotes är att andelen män bland de duktigaste i matematik är högre. Det leder vidare till frågan hur det i så fall kommer sig. En ny studie, ”Sex and Science: How Professor Gender Perpetuates the Gender Gap”, publicerad i Quarterly Journal of Economics (preliminär gratisversion här), finner att föresläsares kön kan utgöra en delförklaring:

Our results suggest that although professor gender has little impact on male students, it has a powerful effect on female students’ performance in math and science classes, and high-performing female students’ likelihood of taking future math and science courses, and graduating with a STEM degree. The estimates are largest for students whose SAT math scores are in the top 5% of the national distribution. The gender gap in course grades and STEM majors is eradicated when high-performing female students are assigned to female professors in mandatory introductory math and science coursework.

Här tycks ett moment 22-problem föreligga: kvinnliga föreläsare i naturvetenskap och matematik måste först vara duktiga kvinnliga studenter i dessa ämnen, men det är svårare för dem att bli duktiga som studenter om föreläsarna är män. Nå, det är inte minst intressant att högpresterande kvinnliga studenter verkas gynnas allra mest av kvinnliga föreläsare. Det kan dock fortfarande vara så att bland de allra mest högpresterande studenterna (säg den procent som presterar bäst) dominerar män ändå. Om så är fallet, kan även denna grupp bli jämställd om flickor ges andra villkor och bemötanden? Forskningen lär fortsätta.

Se även inläggen ”De sämsta och de bästa är pojkar””Könsskillnader i matematik”, ”Bland de bästa matematikerna dominerar pojkar” och ”Olympiad för intelligenta”.